Relatividade Especial e a Dilatação do Tempo

Antes de falar sobre a dilatação do tempo, é importante relembrar dois conceitos. O primeiro é o de referencial inercial, que é um referencial em que vale a primeira lei de Newton: um corpo permanece em repouso (v nula) ou em movimento retilíneo uniforme (v constante) se nenhuma força for exercida sobre ele (ou, caso exercidas, se compensem, com resultante nula). O segundo conceito são os postulados da relatividade especial:

1) As leis da física são as mesmas para todos os referenciais inerciais.
-Ou seja, não existe nenhum sistema de referência inercial preferencial.
2) A Constância da Velocidade da Luz: "Qualquer raio de luz move-se no sistema de coordenadas <<em repouso>> com uma velocidade determinada V, que é a mesma, quer esse raio seja emitido por um corpo em repouso, quer o seja por um corpo em movimento" (Einstein, 1958, p.52-53).
-Disso, tem-se que a velocidade da luz no vácuo tem o mesmo valor em todos os referenciais inerciais, não importando a velocidade da fonte nem a do observador.

Imagine uma astronauta em uma espaçonave de alta velocidade e um controlador da missão no solo. Ambos têm relógios idênticos. A astronauta deve realizar um experimento simples. Na base da nave, ela deve fixar uma luminária que emite um pulso de luz. O pulso viaja diretamente para cima em ângulos retos com relação ao sentido do movimento da espaçonave (veja a figura 1). Lá, o pulso atinge um alvo circular preso ao teto. Digamos que a altura da nave seja de quatro metros. Com a luz viajando à velocidade c, a astronauta constata que o tempo necessário para essa viagem, t’, conforme medido em seu relógio, é dado por t’ = 4/c.

Agora vamos ver como seria isso da perspectiva do controlador da missão. À medida que a nave passa por sobre sua cabeça, ele também observa a viagem realizada pelo pulso de luz da fonte ao alvo. Segundo sua perspectiva, durante o tempo necessário para que o pulso chegue ao alvo, este terá se movido para frente de onde estava quando o pulso foi emitido. Para ele, o trajeto não é vertical: é inclinado (veja a figura 2)

O comprimento desse trajeto em declive será claramente mais longo do que foi do ponto de vista da astronauta. Digamos que a espaçonave se mova para frente três metros no tempo que leva para que o pulso de luz viaje da fonte ao alvo. Usando o teorema de Pitágoras, onde 3² + 4² = 5², vemos que a distância percorrida pelo pulso para atingir o alvo é, segundo o controlador, cinco metros.
Então, qual o tempo que ele encontra para que o pulso realize a viagem? Evidente que é a distância percorrida, cinco metros, dividida pela velocidade em que ele vê a luz se propagando, que já estabelecemos como sendo c (a mesma para a astronauta, de acordo com o segundo postulado). Assim, para o controlador, o tempo percorrido, t, registrado em seu relógio, é dado por t = 5/c.
Mas esse não é o tempo encontrado pela astronauta. Sua medição do tempo resultou em t’ = 4/c. Portanto, eles discordam em relação a quanto tempo levou para que o pulso realizasse a viagem. Segundo o controlador, a leitura no relógio da astronauta é baixa demais; o relógio dela está andando mais lentamente do que o seu.
E não é apenas o relógio. Tudo o que acontece na espaçonave está desacelerado na mesma razão. Não fosse assim, a astronauta conseguiria perceber que seu relógio estava indo mais devagar (comparado, digamos, com sua frequência cardíaca ou com o tempo necessário para ferver uma chaleira etc.). E isso, por sua vez, permitiria que ela deduzisse estar se movendo – sua velocidade afetando, de alguma forma, o mecanismo do relógio. Porém, isso não é permitido pelo primeiro postulado. Todo movimento uniforme é relativo. A vida para a astronauta deve proceder exatamente da mesma forma do que para o controlador da missão. Logo, concluímos que tudo o que acontece na espaçonave – o relógio, as operações dos aparelhos eletrônicos, o envelhecimento da astronauta, seus processos de pensamento – está desacelerado na mesma razão. Quando ela observa seu relógio lento com seu cérebro lento, nada parece estar errado. De fato, no que lhe diz respeito, tudo dentro da nave continua em sincronia e parece normal. É somente de acordo com o controlador que tudo na espaçonave está desacelerado. Isso é a dilatação do tempo. A astronauta tem seu tempo, e o controlador o dele e eles não são o mesmo. Os intervalos de tempo marcados por um observador em repouso são sempre maiores que os intervalos de tempo marcados por um observador em movimento.
Nesse exemplo, pegamos um caso específico, em que a astronauta e a espaçonave viajam três metros no tempo que leva para que a luz viaje cinco metros da fonte ao alvo. Em outras palavras, a nave está viajando a uma velocidade 3/5c, isto é, 0,67c. E, para essa determinada velocidade, descobrimos que o tempo da astronauta foi desacelerado por um fator de 4/5, ou seja, 0,8. É fácil obter uma fórmula para qualquer velocidade escolhida, v. Aplicamos o teorema de Pitágoras ao triângulo ABC. As distâncias são mostradas na figura 3. Logo:

AC² = AB² + BC²
AB² = AC² - BC²
C²t’² = (c² - v²)t²
t’² = (1 – v²/c²)t²
t’ = t √ (1 – v²/c²)
Nesta fórmula, vemos que, se v for pequena em comparação a c, a expressão sob o sinal de raiz quadrada se aproxima de um e t’ ≅ t. Ainda assim, mesmo se v for muito pequena, o efeito de dilatação continua lá.
Isso significa que, estritamente falando, sempre que embarcamos em uma jornada – uma viagem de ônibus por exemplo – devemos reajustar nosso relógio na chegada para que ele volte a estar em sincronia com todos os relógios imóveis. A razão por que não fazemos isso é que o efeito é muito pequeno. Por exemplo, alguém que escolha dirigir trens expressos por toda a sua vida profissional estará fora de sincronia em relação aos sedentários em não mais de aproximadamente um milionésimo de segundo quando se aposentar.
No outro extremo, a fórmula nos mostra que, conforme v se aproxima de c, a expressão sob o sinal da raiz quadrada se aproxima de zero, e t’ tende a ser zero. Em outras palavras, o tempo para a astronauta chegaria, de maneira efetiva, a paralisar. Isso implica que, se os astronautas fossem capazes de voar muito próximo à velocidade da luz, quase não envelheceriam e, com efeito, viveriam para sempre.

Referências bibliográficas:
1.https://www.ifi.unicamp.br/~lunazzi/F530_F590_F690_F809_F895/F809/F809_sem2_2007/BrunoR-Ugarte_RP.pdf
2.STANNARD, R. Relatividade. Coleção L&PM POCKET, vol. 991. Porto Alegre, RS: L&PM Editores, dezembro de 2011.
3.https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/fisica/dilatacao-tempo.htm