Definições, axiomas, postulados, princípios, leis, hipóteses e teorias

Existem tanto em matemática quanto em física, além dos axiomas e postulados, as hipóteses, as teorias, as definições e os princípios. Em matemática, tanto o postulado quanto o axioma são proposições indemonstráveis das quais se parte para construir um arcabouço lógico. Eles podem ou não ser evidentes. Alguns diferenciam axioma de postulado dizendo que o postulado é evidente, enquanto que o axioma não. Mas ambos não são deduzidos. No entanto, em vários casos, postulados podem ser verificados através de, por exemplo, visualizações gráficas (e são evidentes nesse sentido), enquanto que axiomas não. Os seguintes exemplos devem esclarecer essa distinção. Considere o chamado "princípio" do terceiro excluído em Lógica Bivalente Clássica, que pode ser formulado da seguinte maneira: 

(P v ¬P) -> Ou P ou não P.

Essa proposição molecular (duas proposições reunidas através do conectivo disjunção) pode ser entendida como um postulado. Ela é evidente a partir da comparação do que ela mostra com os valores de verdade contidos nas tabelas de verdade. Com isso, pode-se averiguar que ela é satisfeita para os valores de verdade da tabela. Todavia, ela ainda não é demonstrada. Ela é uma proposição necessariamente verdadeira, dadas as considerações que a precedem que também são consideradas como verdadeiras e não demonstráveis. Mas ela pode ser verificada. Um axioma, por outro lado, pode ser concebido como algo mais geral, não decomposto em nada mais elementar. Segundo o dicionário inglês de Oxford, etimologicamente, entende-se por "axioma" o seguinte: "adotado do axiome francês, adaptado do latino axiōma, adotado do grego ἀξίωμα, que é considerado digno ou adequado; que é auto-evidente." O seu significado é: "Uma proposição auto-evidente, que não exige demonstração formal para provar sua veracidade". Para o termo "postulado", temos, etimologicamente: "adaptação do latim postulātum (uma coisa) exigida ou reivindicada, uma demanda, solicitação [...]". Seu significado é: "especificamente em Geometria (ou uso derivado). Uma reivindicação para tomar como certa a possibilidade de uma operação simples, por exemplo, que uma linha reta possa ser traçada entre dois pontos; um problema simples de natureza auto-evidente: distinto do axioma (um teorema auto-evidente)". Dadas essas considerações, o próximo exemplo deve esclarecer isso. Considere o seguinte axioma e o seguinte postulado:

Axioma: "Para todo natural x, x=x" ou "(x)(Nx & x=x)", em que Nx := "x é um número natural".

Postulado: "Dado uma reta e um ponto fora dessa reta, existirá apenas uma reta que passará por esse ponto e que seja paralela à primeira reta".

Nesse caso, o postulado pode ser graficamente visualizado, para nos assegurarmos de sua veracidade, mesmo que ele não seja demonstrado formalmente (nesse caso, ele seria apenas mostrado). Mas ainda é necessariamente verdadeiro. Enquanto o axioma não necessita ser visualizado graficamente, sendo auto-evidente. Mas como discutido anteriormente, no caso do postulado, podemos decompô-lo de alguma forma, que nesse caso, fica explícito ao considerarmos os conceitos de "reta", "ponto" e representá-los graficamente. Finalmente, há a consideração de que um axioma seja uma verdade auto-evidente (entendendo aqui que verdade é um predicado, na forma v(X), em que X é outro predicado, sendo portanto, um argumento que a função toma). Já uma proposição tem a forma seguinte: P(x), em que por exemplo, x=nome, em que os argumentos da função são constantes individuais. Expressando que tal proposição é verdadeira, tem-se: v(P(x)). Finalmente, gostaria de mostrar mais um exemplo da distinção de axioma e postulado e finalizar com alguns comentários. Considerem o seguinte axioma associado aos números naturais:

Axioma: A+B'=(A+B)'.

Em que o " ' " representa a função "sucessor de x (se x=3, então seria x+1=4)". Agora, considere o seguinte postulado:

Postulado: A+(B+1)=(A+B)+1.

O axioma nesse caso, é mais geral e abstrato (em sua formulação) do que o postulado, que é evidente. Essa função descreve então, falando num geral, a ordenação dos números naturais de tal forma que podemos trabalhar com eles. Ao aplicar a "função verdade" ao argumento A+B'=(A+B)', temos v(A+B'=(A+B)')=V, considerando a verdade como predicado como anteriormente expresso, o que mostra que o axioma em questão é auto-evidente (agradeço as considerações do meu amigo Dário Carvalho por me chamar a atenção sobre a distinção de axioma e postulado). 

 Princípio é uma proposição afirmativa não verificada empiricamente, isto é, não se induz princípios através de observações e experimentos, mas sugere-se por raciocínio, de modo que se pode deduzir leis através deles. Se as leis então, forem verdadeiras, os princípios são válidos. Assim é o princípio da Incerteza de Heisenberg ou o Princípio da ação mínima pelo qual se obtém as equações de Lagrange e Hamilton. Definições podem ser entendidas de várias formas. 

Talvez em Matemática e Física, quando falamos em "definição" (definição de carga, energia, plano, número etc), falamos no sentido de delimitar a aplicabilidade de um termo. E isso pode ser feito expressando um juízo que determine um predicado que esse termo goza, em termos conceituais, em que todas as tipificações possuirão também. Por exemplo, ao se definir "energia" em termos de um certo predicado x, para identificarmos se energia potencial, cinética e outras são realmente "energia", devemos ver se podemos expressar tais termos associando-os ao predicado contido no conceito de "energia". Mas também, para expressar univocamente e delimitar a aplicabilidade de certos termos, em Física, expressa-se por meio de símbolos e suas relações, que seguem algumas regras e operações conhecidas dentro de alguma teoria de matemática, geometria, topologia ou outras. Tais símbolos geralmente estão associados à alguma propriedade identificada na realidade natural. 

Por outro lado, além disso, uma definição pode ser entendida como uma expressão da essência de algo (definir seria dizer o predicado que algo contém e que sem tal predicado, deixa de ser algo). Além disso, tem-se a questão de intensionalidade, extensionalidade, semelhança por gênero e diferença específica, definição em termos de determinar todas as notas constituintes de um conceito etc. Por exemplo, dizer que um círculo é redondo (um juízo analítico), você realmente não está definindo círculo, pois existem outras "coisas" que são redondas e não são círculos. Mas trata-se do conceito de círculo. E dizer que um círculo é quadrado é um absurdo, pois pela própria definição de “círculo”, ele não pode ser quadrado, pois “quadrado” já tem outra definição diferente da de “círculo”.

No entanto, círculo pode ser definido como um ente geométrico em que se tem o conjunto de pontos da união da circunferência e da superfície delimitada pela circunferência. Por outro lado, uma circunferência trata-se de uma linha que se curva de tal modo que se feche sobre si mesma e também, as distâncias de um ponto central em relação à linha até pontos que a linha contém, são constantes e as mesmas para cada ponto da linha, que chamamos de "raio". Portanto, para se definir círculo, há que se expressar o que seja "circunferência", pois um círculo trata-se da união da circunferência com os pontos da superfície interna delimitada pela circunferência. Isso é o que delimita o termo "círculo".  

Além disso, é importante comentar que nem todos os conceitos em Matemática poderão ser "definidos", pois não haverá como delimitar a aplicabilidade de certos termos. Por exemplo, o conceito de "reta" é expresso em termos de outro conceito, que é o de direção. E o conceito de direção é expresso em termos do conceito de reta. Assim, não é possível expressar uma definição de tais termos. Não há como delimitá-los univocamente, isto é, rompendo com essa circularidade existente (de deixar um conceito expresso em termos de outro). Tais conceitos, assim como o de ponto, plano e outros, são ditos "conceitos primitivos".

Os princípios em física exercem o mesmo papel dos "axiomas" em matemática. Já as leis exercem o mesmo que os postulados. Teoremas são proposições demonstráveis, isto é, o que se deduz dos axiomas, postulados (ou princípios e leis em física) e suas definições. Assim o é, o teorema de energia e trabalho, deduzido através das leis do movimento e das definições de velocidade, aceleração, posição, deslocamento e massa. Grandezas são mensurações quantificadas dos atributos das entidades ou de fenômenos. Finalmente, uma hipótese é uma proposta de descrição de algum fenômeno ou aspecto da natureza e uma teoria é uma hipótese confirmada, mas que é sempre provisória, face aos testes de falseamento que é submetida. Todas as hipóteses e teorias contêm definições, postulados, leis e teoremas. Uma teoria é um conjunto organizado de todos esses elementos, especial e geralmente de várias leis, que descrevem algum aspecto da realidade (pode ser várias ocorrências que possuam algo em comum). Para mais discussões sobre essa questão, ver “O que é ciência afinal – Chalmers”.